Question

27、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB，DE，OC．
（1）从图中找出一对相似三角形（不添加任何字母和辅助线），并证明你的结论；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）△BCO∽△DBE，首先容易得出∠BDE=∠CBO=90°，再利用垂径定理可知OC⊥BD，那么∠DBE+∠BOC=90°，而∠DEB+∠DBE=90°，故∠DEB=∠BOC，那么△BCO∽△DBE；
（2）先根据切割线定理可求出AB，在Rt△ABC中，利用勾股定理可以求出CD．

解答：解：（1）△BCO∽△DBE．
∵∠BDE=90°，∠CBO=90°，
∴∠BDE=∠CBO，
又∵OC⊥BD，
∴∠DEB+∠DBE=∠DBE+∠BOC=90°，
∴∠DEB=∠BOC，
∴△BCO∽△DBE；

（2））∵AD²=AE•AB，AD=2，AE=1，
∴AB=4，
∵CD=CB，∠ABC=90°，设CD的长为x，
则（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，即CD=3．

点评：此题综合考查了切线的性质、相似三角形的判定、勾股定理、垂径定理等知识．