Question

如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）当AD=AE时，求∠BCE的度数．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS证△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB，根据平行线的判定推出即可．
（2）首先根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠ADE=∠AED=（180°-120°）÷2=30°，然后再根据等边三角形的性质可得∠DEC=60°，最后在根据平行线的性质可得∠BCE的度数．

解答：（1）证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB，
∴AE∥BC．

（2）∵AE∥BC，
∴∠EAD+∠B=180°，
∵∠B=60°，
∴∠DAE=120°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°-120°）÷2=30°．
∵∠DEC=60°，
∴∠AEC=90°，
∵AE∥BC，
∴∠BCE=180°-90°=90°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质和等边三角形的性质，关键是找出能使三角形全等的条件．