题目内容
如图在△ABC中,AB=AC,D为AB边上一点,且BD=2AD,过D作DE∥BC,⊙O内切于四边形BCED,则sinB的值为( )
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点:三角形的内切圆与内心
专题:压轴题
分析:先由DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理得出BC=3DE,根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形证明四边形BCED是等腰梯形,则BD=CE,再作等腰梯形BCED的高DF、EG,设DE=a,根据圆外切四边形及等腰梯形的性质得出BD=CE=2a,然后解Rt△BDF,即可求出sinB的值.
解答:解:∵DE∥BC,BD=2AD,
∴
=
=
,
∴BC=3DE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE∥BC,BC≠DE,
∴四边形BCED是等腰梯形,
∴BD=CE.
作等腰梯形BCED的高DF、EG,则四边形DEGF是矩形,BF=CG.
设DE=a,则BC=3DE=3a,BF=CG=
=a.
∵⊙O内切于四边形BCED,
BD+CE=DE+BC=a+3a=4a,
∴BD=CE=2a.
在Rt△BDF中,∵∠BFD=90°,
∴DF=
=
=
a,
∴sinB=
=
=
.
故选D.
∴
DE |
BC |
AD |
AB |
1 |
3 |
∴BC=3DE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE∥BC,BC≠DE,
∴四边形BCED是等腰梯形,
∴BD=CE.
作等腰梯形BCED的高DF、EG,则四边形DEGF是矩形,BF=CG.
设DE=a,则BC=3DE=3a,BF=CG=
BC-DE |
2 |
∵⊙O内切于四边形BCED,
BD+CE=DE+BC=a+3a=4a,
∴BD=CE=2a.
在Rt△BDF中,∵∠BFD=90°,
∴DF=
BD2-BF2 |
4a2-a2 |
3 |
∴sinB=
DF |
BD |
| ||
2a |
| ||
2 |
故选D.
点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,等腰梯形的判定与性质,圆外切四边形的性质,解直角三角形,综合性较强,难度适中.作出等腰梯形BCED的高DF、EG,设DE=a,用含a的代数式表示出BD是解题的关键.
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