Question

（2013•郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=

1

2

CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；
（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S_△PCE，S_△APF，S_△ABC，再根据S=S_△ABC-S_△PCE-S_△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．

解答：（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM=

1

2

CP=

x

2

，tanC=tanA=k，
∴EM=CM•tanC=

x

2

•k=

kx

2

，
同理：FN=AN•tanA=

8-x

2

•k=4k-

kx

2

，
由于BH=AH•tanA=

1

2

×8•k=4k，
而EM+FN=

kx

2

+4k-

kx

2

=4k，
∴EM+FN=BH；

（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16-2x，BH=16，
所以，S_△PCE=

1

2

x•2x=x²，S_△APF=

1

2

（8-x）•（16-2x）=（8-x）²，S_△ABC=

1

2

×8×16=64，
S=S_△ABC-S_△PCE-S_△APF，
=64-x²-（8-x）²，
=-2x²+16x，
配方得，S=-2（x-4）²+32，
所以，当x=4时，S有最大值32．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．