Question

【题目】圆O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在圆O上存在一点N, 以M、N为正方形的两个顶点，且正方形的边均与两条坐标轴垂直，则m的最小值为_________

Answer 1

【答案】-5

【解析】

根据M、N为正方形的两个顶点，分MN为边或MN为对角线两种情况讨论：当 MN为边时，根据点N在圆上可得m的取值范围；当MN为对角线时，根据正方形的性质，直线MN与x轴的夹角为45°，由点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．

当MN为正方形的边时：

∵正方形各边与坐标轴垂直，

∴点N的横坐标为m，

又∵点N在圆O上，圆O半径为，

∴；

当MN为正方形对角线时：

设直线MN的解析式为y=kx+b，

∵MN为正方形对角线，且正方形的边与坐标轴垂直，

∴直线MN与x轴的夹角为45°，

∴k=±1，

∵点N在O上，

∴直线MN与圆O必有交点，

当k=1时，作圆O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A、C为圆O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC，

把M(m，3)代入y=x+b，得b=3m，

∴直线MN的解析式为：y=x+3m，

∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，

∴OD=OA=2，

∴D(0，2)，

同理可得：B(0，－2)，

∴令x=0代入y=x+3m，

∴y=3m，

∴2≤3m≤2，

∴1≤m≤5，

当k=－1时，把M(m，3)代入y=－x+b，得b=3+m，

∴直线MN的解析式为：y=－x+3+m，

同理可得：2≤3+m≤2，

∴5≤m≤1；

综上所述，m可以取的最小值为－5.