Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）BF⊥CE于点F，交CD于点G(如图①)．求证：AE＝CG；
（2）AH⊥CE，垂足为H，交CD的延长线于点M(如图②)，找出图中与BE相等的线段，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，

∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG，

（2）解：证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中， ，

∴△BCE≌△CAM（AAS），

∴BE=CM．

【解析】（1）根据角的和差和中点定义，再根据全等三角形的判定方法SAS，得到AE=CG；（2）根据角的和差由AAS得到△BCE≌△CAM，再根据全等三角形的对应边相等，得到BE=CM．