Question

【题目】已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.

（1）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；

（2）如图②，若为的中点，求证：直线是⊙的切线.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

试题（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；

（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角△ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．

解:（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°.

在Rt△PAB中，，，∴.

由勾股定理，得 .

(2)如图，连接OC、AC，∵AB是⊙O的直径，

∴，有.

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴.

∴.，

又 ∵，

∴.

∵，

∴，即，

∴ 直线是⊙的切线.