Question

已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．
（1）求证：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理即可求证

DH

HB

=

DF

AB

=

DF

CD

=

1

2

．则DH=

1

3

BD，BG=

1

3

BD，即可求证；
（2）连接EF，交BD于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形EGFH是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．（1分）
∴△DHF∽△BHA，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴

DH

HB

=

DF

AB

=

DF

CD

=

1

2

．（2分）
∴DH=

1

3

BD．（1分）
同理：BG=

1

3

BD．（1分）
∴DH=HG=GB=

1

3

BD．（1分）

（2）连接EF，交BD于点O．（1分）
∵AB∥CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴

FO

EO

=

OD

BO

=

DF

BE

=

1 2 CD

1 2 AB

=1．（1分）
∴FO=EO，DO=BO．（1分）
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形．（1分）
∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．（1分）
∴?HEGF是菱形．（1分）

点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及菱形的判定，正确理解定理是解决本题的关键．