题目内容
以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．
分析：（1）利用切线性质定理，以及OQ与OP之间的关系，可得出∠QOP的度数
（2）关键是求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．
（2）关键是求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．
解答：
解：（1）如图一，连接AQ．
由题意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2，
∴A为OP的中点．
∵PQ与⊙O相切于点Q，
∴△OQP为直角三角形．
∴AQ=
OP=1=OQ=OA．
即△OAQ为等边三角形．
∴∠QOP=60°．
（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，
过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP=
=
．
∵
OQ•OP=
QP•OC，
∴OC=
=
．
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=
，
∴QC=
=
．
∴QD=
．
解：（1）如图一，连接AQ．由题意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2，
∴A为OP的中点．
∵PQ与⊙O相切于点Q，
∴△OQP为直角三角形．
∴AQ=
| 1 |
| 2 |
即△OAQ为等边三角形．
∴∠QOP=60°．
（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，
过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP=
| 12+22 |
| 5 |
∵
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴OC=
| 2 | ||
|
2
| ||
| 5 |
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=
2
| ||
| 5 |
∴QC=
1-(
|
| ||
| 5 |
∴QD=
2
| ||
| 5 |
点评：此题主要考查了圆中动点问题，以及切线的性质定理．勾股定理，综合性较强，题目比较新颖．
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