Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，2）的直线AB与以坐标原点为圆心，

3

为半径的圆相切于点C，且与x轴的负半轴相交于点B．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若一抛物线的顶点在直线AB上，且抛物线的顶点和它与x轴的两个交点构成斜边长为2的直角三角形，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了A点的坐标，即可得出OA的长，由于AB与圆O相切，因此OC⊥AB，可在直角三角形OAC中，根据OA的长和圆的半径求出∠BAO的度数．
（2）已知了∠BAO的度数和OA的长，可在直角三角形BOA中用三角函数求出OB的长，即可得出B点的坐标，进而可用待定系数法求出直线AB的解析式．
（3）根据抛物线的对称性可知，抛物线的顶点和它与x轴的两个交点构成的直角三角形应该是等腰直角三角形，已知了这个等腰直角三角形的斜边长为2，那么斜边上的高应该是1，即抛物线顶点的纵坐标的绝对值为1．因此可根据直线AB的解析式设出抛物线的顶点坐标，然后根据抛物线顶点纵坐标绝对值为1求出抛物线的顶点坐标，因此来求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵AB与⊙O相切
∴OC⊥AB
在直角三角形OAC中，OC=

3

，OA=2，
∴sin∠BAO=

OC

OA

=

3

2

．
∴∠BAO=60°．

（2）在直角三角形BAO中，
∵∠BAO=60°，OA=2；
∴OB=2

3

．
∴B（-2

3

，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+2．
则有：-2

3

k+2=0，k=

3

3

；
∴y=

3

3

x+2．

（3）设抛物线的顶点坐标为（x，

3

3

x+2）．
∴|1|=

3

3

x+2
①1=

3

3

x+2，x=-

3

，
∴抛物线顶点坐标为（-

3

，1）
设抛物线的解析式为y=a（x+

3

）²+1，
∵抛物线的对称轴为x=-

3

，且与x轴两交点的距离为2，
因此可得出两交点坐标为（-1-

3

，0）和（1-

3

，0）
代入抛物线的解析式中可得：a=-1
∴抛物线的解析式为y=-（x+

3

）²+1．
②-1=

3

3

x+2，x=-3

3

∴抛物线顶点坐标为（-3

3

，-1）
设抛物线的解析式为y=a（x+3

3

）²-1，
∵抛物线的对称轴为x=-3

3

，且与x轴两交点的距离为2，
因此可得出两交点坐标为（-1-3

3

，0）和（1-3

3

，0）
代入抛物线的解析式中可得：a=1
∴抛物线的解析式为y=（x+3

3

）²-1．
综上所述，抛物线的解析式为：y=-（x+

3

）²+1和y=（x+3

3

）²-1．

点评：本题考查了解直角三角形的应用、切线的性质、一次函数解析式的确定以及二次函数的相关知识等知识点．