Question

抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A（m-4,0）和B(m,0)，与直线y=-x+p相交于点A和点C(2m-4,m-6).

(1)求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标；

（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。

Answer 1

解：（1）∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y=-x+p上

∴　　 -(m-4)+p=0　　　　　　　　　　　 m=3

　　　 -(2m-4)+p=m-6,　　　　　 解得： p=-1

∴A(-1,0)　 B(3,0),　 C(2,-3)

　　　 设抛物线y=ax²+bx+c=a(x-3)(x+1),

∵C(2,-3)　 ∴a=1

∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3

（2）AC=3,AC所在直线的解析式为：y=-x-1，∠BAC=45⁰

∵平行四边形ACQP的面积为12.

∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2

过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK= 2,∴DN=4

∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，

∴PQ的解析式或为y=-x+3或y=-x-5

∴　 y=x²-2x-3

y=-x+3

解得： x₁=3　　 或　 x₂=-2

　　 y₁=0　　　　　 y₂=5

y=x²-2x-3

y=-x-5　　 方程组无解。

即P₁(3,0), P₂(-2,5)

∵ACPQ是平行四边形 ，A(-1,0)　　 C(2,-3)

∴当P(3,0)时，Q(6，-3)

当P(-2,5)时，Q(1，2)

∴满足条件的P,Q点是P₁(3,0), Q₁(6，-3)或 P₂(-2,5)，Q₂(1，2)

（4）　 设M(t,t²-2t-3),(-1＜t＜3),过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T,则T(t,-t+3)

MT=(-t+3)-( t²-2t-3)=- t²+t+6

过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，

MS=MT= (- t²+t+6)=- (t-)²+

∴当t=时，M（，-），⊿PQM中PQ边上高的最大值为