Question

如图，D是等边△ABC的边AB上的一个动点（D与A、B不重合），以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE．
（1）说明四边形ABCE是梯形；
（2）当D在AB边上的什么位置时，四边形ABCE是直角梯形（直接写出结论）；
（3）在（2）的条件下，当AB=4时，求梯形的面积．

Answer 1

解：（1）∵△ABC与△DEC都为等边三角形，
∴AB=BC=AC，DE=EC=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠B=60°，
∴AE∥BC，又AB与EC不平行，
∴四边形ABCE为梯形；
（2）当CD⊥AB时，四边形ABCE是直角梯形，理由为：
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ABCE为直角梯形；
（3）在（2）条件下，四边形ABCE为直角梯形，
∴∠BCE=90°，又∠ACB=60°，
∴∠ACE=30°，
在Rt△ACE中，AC=AB=BC=4，∠ACE=30°，
∴AE=AC=2，EC==2，
则S_梯形ABCE=（AE+BC）•EC=×（2+4）×2=6．
分析：（1）由三角形ABC与三角形DEC都为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，三角相等都为60°，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，利用等式的性质得到∠ACE=∠BCD，利用SAS得出三角形ACE与三角形BCD全等，由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AE与BC平行，而AB与EC不平行，可得出四边形ABCE为梯形；
（2）当CD与AB垂直时，四边形ABCE为直角梯形，当CD与AB垂直时，得到∠BDC为直角，由全等三角形的对应角相等得到∠AEC=∠BDC=90°，即可确定出梯形ABCE为直角梯形；
（3）在（2）条件下，四边形ABCE为直角梯形，且∠AEC=90°，此时∠ACE为30°，由AB=AC=BC=4，在直角三角形ACE中，利用直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长，再利用勾股定理求出EC的长，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCE的面积．
点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．