题目内容
【题目】将△ABC的∠C折起,翻折后角的顶点位置记作C′,当C′落在AC上时(如图1),易证:∠1=2∠2.
当C′点落在CA和CB之间(如图2)时,或当C′落在CB、CA的同旁(如图3)时,∠1、∠2、∠3关系又如何?请写出你的猜想,并就其中一种情况给出证明.
图1 图2 图3
【答案】见解析
【解析】利用轴对称的知识找出等解即可进行推理判断.
解:当C′点落在CA和CB之间(如图2)时,∠1+∠3=2∠2;
当C′落在CB、CA的同旁(如图3)时,∠1-∠3=2∠2;
对于图2证明如下:
连结CC’,如图4所示,
∵⊿EC’D是由⊿ECD翻折得到的,
∴⊿EC’D≌⊿ECD,由此得EC=EC’,DC=DC’,∠EC’D=∠ECD,
∴∠EC’C=∠ECC;∠DC’C=∠DCC,
∵∠1=∠DC’C+∠DCC’ ,∠3=∠EC’C+∠ECC’ ,
∴∠1+∠3=∠DC’C+∠DCC’ +∠ EC’C+∠ECC’=2∠DC’C+2∠ EC’C =2(∠DC’C+∠ EC’C)= 2∠2;
∴∠1+∠3=2∠2;
对于图3证明如下:
设AC与DC’在⊿ABC内部所夹角为∠4,如图5所示,
则有∠1=∠C+∠4,∠4=∠3+∠2,
又由翻折得:∠2=∠C,
∴∠1=∠2+∠3+∠2=∠3+2∠2,
∴∠1-∠3=2∠2.
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