题目内容

如图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=
12
AB．（1）求证△ABE≌△ADF；
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（2）阅读下列材料：
如图2，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；
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如图3，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；
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如图4，以点A为中心把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．
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像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
（3）回答下列问题：
①在图1中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法使△ABE变到△ADF的位置，
答：
 
．
②指出图1中，线段BE与DF之间的关系．
答：
 
．
分析：（1）根据ASA很容易证得两三角形全等；
（2）①根据翻转的定义结合图形即可得出答案；②由（1）中的结论可得出BE与DF之间的关系．
解答：解：（1）由正方形ABCD得：AD=AB，∠DAF=∠BAE=90°，
又∵AF=
1
2
AB，且E为AD的中点，
∴AF=AE，
在△ABE和△ADF中，
AD=AB
∠BAE=∠DAF
AE=AF
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）①由图形可得：△ABE经过旋转可变到△ADF的位置．
②由（1）得：BE⊥DF，BE=DF．
点评：本题考查中心对称及三角形全等的知识，难度不大，利用全等三角形的性质与判定结合正方形的性质来解题．
练习册系列答案
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25、把正方形OFGE纸板按如图①方式放置在正方形纸板ABCD上，顶点G在对角线AC，并把正方形OFGE绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为а．
（1）如图②，当а=90°时，请直接写出线段DE与BF的数量关系和位置关系；
（2）如图③，当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请举例说明；
（3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为矩形，其他条件不变，设AB=kAD（k＞0），当0°＜а＜90°时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明．若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．
（1）填空：如图1，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=
 
度；
（2）如图2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60度．以此为部分条件，精英家教网构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．
26、如图1，在正方形ABCD中，若点E是△DBC内的一点，且DE=DC，BE=CE．
（1）连接AE．说明△ABE≌△DCE的理由；
（2）求∠BDE与∠CDE度数的比值；
（3）拓展探索：若只将题中的条件“正方形ABCD”换成条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，2∠DBC=∠DCB”．如图2，研究∠BDE与∠CDE度数的比值是否与（2）中的结论相同，写出你的研究结果并说明理由．
精英家教网如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：EF+
1
2
AC=AB；
（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，
1
2
A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．
课本练习拓展：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，△ABE经过旋转后得到△ADF，
①旋转中心是点
A
A
；旋转角度最少是
90
90
度．
②爱动脑筋的小兵，在CD边上取点H使得∠HAE=45°，他发现：HE=BE+HD，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
（2）思维闯关：
如图2，在直角梯形ABCD中AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°BC=AB=6，E是 AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，则DE的长=
5
5
．（小兵运用解答（1）中所积累的经验和知识做出了该题）
（3）动手闯过：
①小明有一块如图3所示的纸片，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．小明请小兵只剪一刀后把它拼成正方形，请你帮助小兵在图中画出剪拼得示意图．
②小兵好朋友小红现有两块同小明一样的纸片，如图4，小兵能否在每块上各剪一刀，然后拼成一个大的正方形？若能，请你画出剪法和拼法的示意图；若不能，简要说明理由．

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