Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ACB；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是

1. A.
   （1），（2）
2. B.
   （2），（3）
3. C.
   （3），（4）
4. D.
   （1），（3），（4）

Answer 1

D
分析：先根据三角形内角和定理求出∠ABC及∠C的度数，（1）根据线段垂直平分线的性质可求出∠A=∠ABD，再由∠ABC的度数即可求出答案；
（2）由线段垂直平分线的性质可得到AD=BD，再根据∠DBC及∠C的度数即可进行判断；
（3）先判断出△BCD的形状，再结合线段垂直平分线的性质及可作出判断；
（4）根据等腰三角形的性质可得AB=AC，再由线段垂直平分线的性质即可得出答案．
解答：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C===72°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ADB=∠A=36°，
∵∠ABC=72°，
∴∠DBC=36°，
∴BD平分∠ACB，
故此小题正确；
（2）∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴BD＞CD，
∵AD=BD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故此小题错误；
（3）∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴BD=BC，
∵AD=BD，
∴AD=BD=BC，
故此小题正确；
（4）∵BD=AD，
∴△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+AC，
∵AB=AC，
∴△BDC的周长等于AB+BC，
故此小题正确．
故选D．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的知识是解答此题的关键．