Question

【题目】已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2；

②当m≠0时，方程为一元二次方程，

△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）

=m2+2m+1

=（m+1）2≥0，故方程有两个实数根；

故无论m为何值，方程恒有实数根

（2）解：∵二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，

∴ =2，

整理得，3m2﹣2m﹣1=0，

解得m1=1，m2=﹣ ．

则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣ x2+2x﹣

【解析】（1）分两种情况讨论：①当m=0时，方程为一元一次方程，若能求出解，则方程有实数根；②当m≠0时，方程为一元二次方程，计算出△的值为非负数，可知方程有实数根．（2）根据二次函数与x轴的交点间的距离公式，求出m的值，从而得到抛物线的解析式．
【考点精析】本题主要考查了求根公式和抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．