题目内容
（2013•沙湾区模拟）如图，△ABC的外接⊙O的半径为R，高为AD，∠BAC的平分线交⊙O、BC于E、P，EF切⊙O交AC的延长线于F．下列结论：①AC•AB=2R•AD；②EF∥BC；③CF•AC=EF•CP；④
| CP |
| BP |
| SinB |
| SinF |
请你把正确结论的番号都写上
①②③④
①②③④
．（填错一个该题得0分）分析：（1）过A作直径AN，利用直角△ACN∽直角△ADB，可得①；
（2）连接OE，由角平分线可得弧相等，即E为BC弧的中点，则OE与BC垂直，而EF是切线即EF⊥BC，得②；（3）连CE，证明△FCE∽△CMA，可得③；
（4）先把正弦化成线段的比，得到
=
而这是角平分线定理，所以得④．
（2）连接OE，由角平分线可得弧相等，即E为BC弧的中点，则OE与BC垂直，而EF是切线即EF⊥BC，得②；（3）连CE，证明△FCE∽△CMA，可得③；
（4）先把正弦化成线段的比，得到
| CM |
| AM |
| AC |
| BC |
解答：解：（1）过A作直径AN，连CN．则∠ACN=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ANC=∠B，
∴直角△ACN∽直角△ADB，而AN=2R，
∴AC•AB=2R•AD；
（2）连接OE，
∵∠BAC的平分线交⊙O于E，
∴弧CE=弧BE，∴OE⊥BC，
又∵FE是⊙O的切线，
∴FE⊥OE，
∴EF∥BC；
（3）连CE，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠F，∠FEC=∠ECM，
又∵∠ECM=∠EAB=∠CAM，
∴△FCE∽△CMA，
∴CF•AC=EF•CM；
（4）在直角三角形ADB中，sinB=
，
在直角三角形ADC中，sin∠ACD=
，而EF∥BC，∠ACD=∠F，即sinF=
，
∴
=
，而AM为角平分线，所以
=
，
∴
=
，
∴①②③④都正确，
故答案为①②③④．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ANC=∠B，
∴直角△ACN∽直角△ADB，而AN=2R，
∴AC•AB=2R•AD；
（2）连接OE，
∵∠BAC的平分线交⊙O于E，
∴弧CE=弧BE，∴OE⊥BC，
又∵FE是⊙O的切线，
∴FE⊥OE，
∴EF∥BC；
（3）连CE，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠F，∠FEC=∠ECM，
又∵∠ECM=∠EAB=∠CAM，
∴△FCE∽△CMA，
∴CF•AC=EF•CM；
（4）在直角三角形ADB中，sinB=
| AD |
| BD |
在直角三角形ADC中，sin∠ACD=
| AD |
| DC |
| AD |
| AC |
∴
| AC |
| BC |
| SinB |
| SinF |
| CM |
| AM |
| AC |
| BC |
∴
| CP |
| BP |
| SinB |
| SinF |
∴①②③④都正确，
故答案为①②③④．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握使用三角形相似证明等积式或比例式．熟悉圆周角定理，角平分线定理，三角函数的定义以及切线的性质等．
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