题目内容
【题目】正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,Q为CD上任意一点,AQ交BD于M,过M作MN⊥AM交BC于N,连AN、QN.下列结论:①MA=MN;②∠AQD=∠AQN; ③S△AQN=S五边形ABNQD;④QN是以A为圆心,以AB为半径的圆的切线.其中正确的结论有( )
A. ①②③④ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①②
【答案】A
【解析】
延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AH⊥NQ于H,证A B N M四点共圆,推出∠ANM=∠NAM即可判断①;证△ABN≌△ADF,推出AF=AN,∠FAD=∠BAN,证△NAQ≌△FAQ,推出∠AQN=∠AQD即可判断②;证△ADQ≌△AHQ,即可推出③;根据AH=AD=AB,AH⊥NQ,即可判断④.
延长CD到F,使DF=BN,连接AF,过A作AH⊥NQ于H,
∵正方形ABCD,NM⊥AQ,
∴∠AMN=∠ABC=90°,
∴A B N M四点共圆,
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,
∴∠ANM=∠NAM=45°,
∴MA=MN,∴①正确;
∵正方形ABCD,
∴∠ABN=∠ADF=90°,AD=AB,
在△ABN和△ADF中,
∵,
∴△ABN≌△ADF,
∴∠FAD=∠BAN,AF=AN,
∵∠NAM=∠BAC=45°,
∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ,
在△NAQ和△FAQ中,
∵,
∴△NAQ≌△FAQ,
∴∠AQN=∠AQD,∴②正确;
在△ADQ和△AHQ中,
∵,
∴△ADQ≌△AHQ,
∴S△ADQ=S△AQH,
∴S△NAQ=S△FAQ=S△FAD+S△ADQ=S五边形ABNQD,
∴③正确;
∵AH=AD=AB,AH⊥NQ,
∴QN是以A为圆心,以AB为半径的圆的切线,
∴④正确.
故选:A.