题目内容
(本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为
(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．
(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．
求证：S1∶S2＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？
见解析
解析:（1）∵AB∥CB′，
∴∠B=∠BC B′=30°，
∴∠A′CD=60°，
又∵∠A′=60∠，
∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，
∴△A′CD是等边三角形；
（2）在Rt△ACB中∠ABC=30°
∴AC:BC=1:
又∵旋转角度为θ
∴∠ACA'=∠BCB'
又∵将△ABC旋转到△
∴AC=A'C CB=CB'
∴AC:BC=A'C:B'C=1:
∴△ACA'∽△BCB'
∴S1∶S2＝
（3）（3）当E,C,P三点在一条直线上时取得最大值，即
旋转120°，EP=
=
.
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的值．