题目内容
如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=45°,边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上,与△ABC另两边分别交于点E、F,DE∥AB,将正方形平移,使点D保持在AC上(D不与A重合),设AF=x,正方形与△ABC重叠部分的面积为y.(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(2)x为何值时y的值最大?
(3)x在哪个范围取值时y的值随x的增大而减小?
分析:(1)当点D保持在AC上时,正方形与△ABC重叠部分为直角梯形DEBF,根据直角梯形的面积公式,只需用含x的代数式分别表示出上底DE、下底BF及高DF的长度即可.由△ADF为等腰直角三角形,可得高DF=AF=x;则AD=
x,下底BF=AB-AF=1-x;进而得出CD=AC-AD=1-
x,再根据等腰三角形及平行线的性质可证∠C=∠CED,得出上底DE=CD1-
x;根据点D保持在AC上,且D不与A重合,可知0<AD≤1,从而求出自变量x的取值范围;
(2)由(1)知,y是x的二次函数,根据二次函数的性质,可知当x=-
时,y的值最大;
(3)根据二次函数的增减性,当a<0时,在对称轴x=-
的右侧,y的值随x的增大而减小.
2 |
2 |
2 |
(2)由(1)知,y是x的二次函数,根据二次函数的性质,可知当x=-
b |
2a |
(3)根据二次函数的增减性,当a<0时,在对称轴x=-
b |
2a |
解答:解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE∥AB,
∴∠B=∠CED,∠AFD=∠FDE=90°,
∴∠C=∠CED,
∴DC=DE.(2分)
在Rt△ADF中,∵∠A=45°,
∴∠ADF=45°=∠A,
∴AF=DF=x,
∴AD=
=
x,(3分)
∴DC=DE=1-
x,(4分)
∴y=
(DE+FB)×DF=
(1-
x+1-x)x=-
(
+1)x2+x.
∵点D保持在AC上,且D不与A重合,
∴0<AD≤1,
∴0<
x≤1,
∴0<x≤
.
故y=-
(
+1)x2+x,自变量x的取值范围是0<x≤
;(8分)
(2)∵y=-
(
+1)x2+x,
∴当x=-
=
-1<
时,y有最大值;(10分)
(3)∵y=-
(
+1)x2+x,0<x≤
,-
<0,
∴当
-1≤x≤
时,y随x的增大而减小.(14分)
∴∠B=∠C,
∵DE∥AB,
∴∠B=∠CED,∠AFD=∠FDE=90°,
∴∠C=∠CED,
∴DC=DE.(2分)
在Rt△ADF中,∵∠A=45°,
∴∠ADF=45°=∠A,
∴AF=DF=x,
∴AD=
x |
cos45° |
2 |
∴DC=DE=1-
2 |
∴y=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
∵点D保持在AC上,且D不与A重合,
∴0<AD≤1,
∴0<
2 |
∴0<x≤
| ||
2 |
故y=-
1 |
2 |
2 |
| ||
2 |
(2)∵y=-
1 |
2 |
2 |
∴当x=-
1 | ||||
2×(-
|
2 |
| ||
2 |
(3)∵y=-
1 |
2 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
∴当
2 |
| ||
2 |
点评:本题考查了正方形、平行线的性质,等腰三角形的性质与判定,直角梯形的面积及二次函数的性质,综合性较强,难度中等.
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