题目内容

【题目】如图△ABC∠ACB=90°AB=5cmBC=4cm若点P从点A出发以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动设运动时间为t秒(t0).

1)若点PBC且满足PA=PB求此时t的值

2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上求此时t的值

3)在运动过程中t为何值时△ACP为等腰三角形

【答案】1 ;(2;(3.

【解析】试题分析:

(1)用含t的式子表示出AP,CP的长,用勾股定理列方程求解

(2)利用角平分线的性质定理,用含t的式子表示出AP,PD的长,用勾股定理列方程求解

(3)AC不动P是动点,所以需要分类讨论,分别以A,C,P为等腰三角形的顶点构成的等腰三角形,然后用勾股定理列方程求解.

试题解析:

Rt△ABC中,由勾股定理得AC=3.

(1)根据题意得AB+BP=2t,所以BP=2t-AB=2t-5,

AP=2t-5,PC=BC-PB=4-(2t-5)=9-2t.

RtAPC中,由勾股定理得AC2+PC2=AP2,即32+(9-2t)2=(2t-5)2,解得t=.

(2)过点PPD⊥AB于点D.

因为BP平分∠ABC,∠C=90°,所以PD=PC,BD=BC.

根据题意得,AB+BC+CP=2t,所以CP=2t-9,

DP=2t-9,AP=3-(2t-9)=12-2t.

Rt△APD中,AD=AB-BD=5-4=1,由勾股定理得:

PD2+AD2=AP212+(2t-9)2=(12-2t)2解得t=.

(3) 如图1AP=AC时,AP=32t=3t=.

如图2,CA=CP,点PAB上时,过点CCD⊥AB于点D,AD=PD.

因为CD×AB=AC×BC,所以5CD=3×4CD=.

RtACD中,由勾股定理得AD=.

因为AP=2AD所以t=2AD÷2=AD=.

如图3,CA=CP,点PBC上时,CP=CA=3.

BP=BC-BP=4-3=1,AB+BP=5+1=6.

所以t=6÷2=3.

如图4PA=PC时,过点PPDBCAC于点D,则PD垂直平分AC,所以AP=BP=t=÷2=.

综上所述,当t= 3 时,ACP为等腰三角形

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