Question

如图，正方形ABCD中，M为AD边上的一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，
（1）若∠AMB=60°，CE=2

3

，求DF的长度；
（2）求证：BM=DN+CF．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）由正方形的性质可以得出AD∥BC，再由CN∥BM就可以得出四边形BCNM是平行四边形，就可以得出∠MBC=60°，就有∠BCN=120°，由BC=EC就可以得出∠FBC=30°，勾股定理就可以求出CF的值，从而可以得出结论；
（2）过点C作CG⊥BE交AD于点H，可以得出△BCF≌△CDH，根据全等三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出∠CHN=∠ECG，由四边形MBCN为平行四边形就可以得出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
∵CN∥BM，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∴BM=CN，∠AMB=∠MBC．
∵∠AMB=60°，
∴∠MBC=60°，
∴∠BCN=120°．
∵BC=CE，
∴∠1=∠2=30°，
∴BF=2CF．
在Rt△BCF中，BC=2

3

，由勾股定理，得
CF=2．
∵CD=2

3

，
∴DF=2

3

-2．
答：DF=2

3

-2；

（2）过点C作CG⊥BE交AD于点H，
∴∠BGC=∠FGC=90°．
∴∠1=∠4．
在△BCF和△CDH中

∠1=∠4 BC=CD ∠BCD=∠CDH

，
∴△BCF≌△CDH（ASA），
∴CF=HD．
∵∠CHN=90°-∠4，∠ECG=90°-∠2=90°-∠1=90°-∠4
∴∠CHN=∠ECG，
∴CN=HN
∵四边形MBCN为平行四边形，
∴BM=CN，
∴BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．