题目内容

【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象经过点A10),B20),C0﹣2),直线x=mm2)与x轴交于点D

1)求二次函数的解析式;

2)在直线x=mm2)上有一点E(点E在第四象限),使得EDB为顶点的三角形与以AOC为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);

3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出F点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣2;

(2)E点坐标为E1(m, ),E2(m,4﹣2m);

(3)F点的坐标为:F1,﹣),F2(4,﹣6).

【解析】试题分析

(1)已知抛物线经过三个点,则可设抛物线的解析式为一般式,再将三个点的坐标代入到一般式中,得到三元一次方程组即可求解;

(2)△AOCBDE都是直角三角形,除直角外,其它的对应关系不确定,所以应分两类讨论,由相似三角形的对应边成比例求出E点的坐标

(3)AB是两个确定的点,E点的坐标中含有m也可看作是确定的点,则可根据三个点的坐标确定第四个点F的坐标,而点F在抛物线上,把F点的坐标代入到抛物线中得到关于m的方程,则可求出点F的坐标.

解:(1)将点A10),B20),C0﹣2)代入二次函数y=ax2+bx+c中,得

解得a=﹣1b=3c=﹣2

y=﹣x2+3x﹣2.(2分)

2AO=1CO=2BD=m﹣2

当△EDB∽△AOC时,得=

=,解得ED=

∵点E在第四象限,

E1m),

当△BDE∽△AOC时, =时,即=

解得ED=2m﹣4

∵点E在第四象限,

E2m4﹣2m);

所以有E1m),E2m4﹣2m.

3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则

EF=AB=1,点F的横坐标为m﹣1

当点E1的坐标为(m)时,点F1的坐标为(m﹣1),

∵点F1在抛物线的图象上,

=﹣m﹣12+3m﹣1﹣2

2m2﹣11m+14=0

2m﹣7)(m﹣2=0

m=m=2(舍去),

F1),

当点E2的坐标为(m4﹣2m)时,点F2的坐标为(m﹣14﹣2m),

∵点F2在抛物线的图象上,

4﹣2m=﹣m﹣12+3m﹣1﹣2

m2﹣7m+10=0

m﹣2)(m﹣5=0m=2(舍去),m=5

F24﹣6).

所以F1),F24﹣6).

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