Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=mx²-（3m-2）x+2m-2总过x轴上的一个固定点；
（3）若m为正整数，且关于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=mx²-（3m-2）x+2m-2向右平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

（1）解：∵关于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0，
有两个不相等的实数根，
∴△=[-（3m-2）]²-4m（2m-2）=m²-4m+4=（m-2）²＞0，
∴m≠0且m≠2，
答：m的取值范围是m≠0且m≠2．

（2）证明：令y=0得，mx²-（3m+-2）x+2m-2=0，
∴x₁=1，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（），
∴无论m取何值，抛物线y=mx²-（3m-2）x+2m-2，
总过x轴上的定点（1，0），
即：无论m取何值，抛物线y=mx²-（3m-2）x+2m-2总过x轴上的一个固定点．

（3）解：∵x=1是整数，
∴只需是整数．
∵m是正整数，且m≠0，m≠2，
∴m=1，
当m=1时，抛物线的解析式为y=x²-x，
把它的图象向右平移4个单位长度，即y=（x-4）²-（x-4），
∴y=x²-9x+20，
答：平移后的抛物线的解析式为y=x²-9x+20．
分析：（1）根据关于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0有两个不相等的实数根，得到△＞0且m≠0，代入求出即可；
（2）令y=0得，mx²-（3m+-2）x+2m-2=0，求出方程的解，其中一个是（1，0），即可得到答案；
（3）因为x=1是整数，所以只需是整数，即可求出m的值，得出抛物线的解析式为y=x²-x，根据平移的性质即可得出所求的解析式y=（x-4）²-（x-4）．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与X轴的交点，根与系数的关系，平移的性质等知识点的理解和掌握，题型较好，难度适中．