Question

（本题满分10分）
在   ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是          ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是         ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.

Answer 1

（1）平行四边形
（2）菱形
（3）菱形
（4）略

（本小题满分10分）
解：（1）四边形EGFH是平行四边形．                    …………………………1分
证明：∵   ABCD的对角线AC、BD交于点O．
∴点O是   ABCD的对称中心．
∴EO=FO，GO=HO．
∴四边形EGFH是平行四边形．                          …………………………4分
（2）菱形．                                            …………………………5分
（3）菱形．                                            …………………………6分
（4）四边形EGFH是正方形．                           …………………………7分
证明：∵AC=BD，∴   ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴   ABCD是菱形．
∴   ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．
∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．
∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．               …………………………9分
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.
∴四边形EGFH是正方形．                             …………………………10分