Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点．求证：
（1）BM∥GH；
（2）BM⊥CF．

Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠A=∠EBH=90°，AD=BC，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵∠AED=∠BEH，
∴△AED≌△BEH，
∴AD=BH，
∴BC=BH，即点B为CH的中点，
又点M为CG的中点，
∴BM为△CGH的中位线，
∴BM∥GH．

（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°，
又∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴AE=AB，DF=AD，
∴AE=DF，
∴△AED≌△DFC，
∴∠ADE=∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠DCF+∠CDE=90°，∴∠CGH=90°，
∵BM∥GH，
∴∠CMB=∠CGH=90°，
∴BM⊥CF．
分析：（1）根据正方形的性质得到∠A与∠EBH都为直角，边AD与BC的相等，再根据已知的点E为AB的中点得到AE=BE，另加一对对顶角的相等，根据“ASA”证得三角形ADE与三角形BHE全等，根据全等三角形的对应边相等可得BH=AD，等量代换可得BH=BC，从而得到点B为CH的中点，再由已知的点M为CG的中点，可得BM为三角形CGH的中位线，根据中位线定理即可得到BM与GH的平行；
（2）根据正方形的性质得到正方形的四条边相等，∠A与∠DAC都为直角，又点E、F分别是边AB、AD的中点，可得AE=DF，根据“SAS”证得三角形AED与三角形DFC全等，根据全等三角形的对应角相等可得∠ADE与∠DCF的相等，又∠ADE+∠CDE=90°，根据等量代换可得∠DCF+∠CDE=90°，从而得到∠CGH为90°，最后由第一问得到的平行，根据两直线平行，同位角相等即可得到∠CMB为90°，即BM⊥CF．
点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质．是一道把三角形的知识与四边形知识综合在一起的一道证明题，是历年中考必考的题型，要求学生熟练掌握有关知识，结合图形，勇于探索，锻炼了学生发散思维能力．