Question

（12分）如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在轴、轴的正半
轴上，点A在双曲线的图象上，且AC=2．
（1）求值；
（2）将矩形ABOC以B旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FBDE，双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．
(3)在双曲线上是否存在一点P，使得直线PN与直线BC平行？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABOC的面积为8，且AC=2
∴AB=4…………………………………………………1分
∵点A在第一象限
∴A（2，4）……………………………………………2分
∵顶点A在双曲线的图象上，
将A点代入双曲线函数中，得：即；…………3分
（2）∵矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF
∴点N、E纵坐标为2，点M、E横坐标为6………4分
∴将代入中，得，……………………5分
将代入中，则………………………6分
∴M（6，），E（6，2），N（4，2），
∴EM=，EN= 2…………………………………………7分
∴．………………………………8分
（3）设直线BC的表达式为（），
∵B（2，0）、C(0,4)
∴ 得
∴直线BC的表达式为………………………………9分
若直线，则可设直线PN为
把N（4，2）代入，得
∴直线PN为……………………………………………10分
由 …………………………………………………11分
得  
∴P点的坐标为（1，8）……………………………………………12分

略