题目内容

如图1是由四块全等的含有30°角的直角三角板拼成的正方形,已知里面小正方形的边长为
3
-1
.如图2,取其中的三块直角三角板拼成等边三角形ABC,再以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求等边△ABC的面积;
(2)求BC边所在直线的解析式;
(3)将第四块直角三角板与△CDE重合,然后绕点E按逆时针方向旋转60°后得△EC'D',问点C'是否落在直线BC上?请你作出判断,并说明理由.
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分析:(1)如要求等边△ABC的面积;可作高CF,交AB于F,有题可知AB=3,利用勾股定理可求出CF的值,所以△ABC的面积=
1
2
AB•CF问题得解;
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b,由图形可求出B,C点的坐标,把B,C的坐标分别代入,解关于k,b的方程组,可得问题答案;
(3)若要知道点C'是否落在直线BC上,可求出C′点的坐标,代入直线BC的解析式y=
3
x+
3
,等式成立则在,不成立,则不在.
解答:解:(1)如图,作高CF,
由已知得OB=1,OD=
3
,BD=2

由正三角形性质得BF=
1
2
AB=
3
2

CF=
32-(
3
2
)
2
=
3
2
3

S△ABC=
1
2
×3×
3
2
3
=
9
4
3

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(2)由已知:C点坐标是(
1
2
3
3
2
),B点坐标是(-1,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
1
2
k+b= 
3
3
2
-k+b=0

解之
b=
3
k=
3
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∴直线BC的解析式为y=
3
x+
3


(3)点C′落在直线BC上.
如图,作C′H⊥AB于H,
由∠C′OB=60°及OC′=1,得,
∴C′的坐标是(-
1
2
1
2
3
),满足y=
3
x+
3

∴点C′落在BD上.
点评:本题考查了一次函数与几何图形(等边三角形)问题首先要根据题意画出草图,结合图形分析其中的几何图形,从已知函数图象中获取信息,求出函数值、函数表达式,并解答相应的问题.
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