题目内容
如图,已知抛物线y=x2-ax+a2-4a-4与x轴相交于点A和点B,与y轴相交于点D(0,8),直线DC平行于x轴,交抛物线于另一点C,动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发,沿C→D运动,同时,点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿A→B运动,连接PQ、CB,设点P运动的时间为t秒.
(1)求a的值;
(2)当四边形ODPQ为矩形时,求这个矩形的面积;
(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求t的值.
(4)当t为何值时,△PBQ是等腰三角形?(直接写出答案)
(1)求a的值;
(2)当四边形ODPQ为矩形时,求这个矩形的面积;
(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求t的值.
(4)当t为何值时,△PBQ是等腰三角形?(直接写出答案)
(1)把点(0,8)代入抛物线y=x2-ax+a2-4a-4得,
a2-4a-4=8,
解得:a1=6,a2=-2(不合题意,舍去),
因此a的值为6;
(2)由(1)可得抛物线的解析式为y=x2-6x+8,
当y=0时,x2-6x+8=0,
解得:x1=2,x2=4,
∴A点坐标为(2,0),B点坐标为(4,0),
当y=8时,x2-6x+8=8,
解得:x1=0,x2=6,
∴D点的坐标为(0,8),C点坐标为(6,8),
DP=6-2t,OQ=2+t,
当四边形OQPD为矩形时,DP=OQ,
2+t=6-2t,t=
,OQ=2+
=
,
S=8×
=
,
即矩形OQPD的面积为
;
(3)四边形PQBC的面积为
(BQ+PC)×8,当此四边形的面积为14时,
(2-t+2t)×8=14,
解得t=
(秒),
当t=
时,四边形PQBC的面积为14;
(4)过点P作PE⊥AB于E,连接PB,
当QE=BE时,△PBQ是等腰三角形,
∵CP=2t,
∴DP=6-2t,
∴BE=OB-PD=4-(6-2t)=2t-2,
∵OQ=2+t,
∴QE=PD-OQ=6-2t-(2+t)=4-3t,
∴4-3t=2t-2,
解得:t=
,
∴当t=
时,△PBQ是等腰三角形.
a2-4a-4=8,
解得:a1=6,a2=-2(不合题意,舍去),
因此a的值为6;
(2)由(1)可得抛物线的解析式为y=x2-6x+8,
当y=0时,x2-6x+8=0,
解得:x1=2,x2=4,
∴A点坐标为(2,0),B点坐标为(4,0),
当y=8时,x2-6x+8=8,
解得:x1=0,x2=6,
∴D点的坐标为(0,8),C点坐标为(6,8),
DP=6-2t,OQ=2+t,
当四边形OQPD为矩形时,DP=OQ,
2+t=6-2t,t=
4 |
3 |
4 |
3 |
10 |
3 |
S=8×
10 |
3 |
80 |
3 |
即矩形OQPD的面积为
80 |
3 |
(3)四边形PQBC的面积为
1 |
2 |
1 |
2 |
解得t=
3 |
2 |
当t=
3 |
2 |
(4)过点P作PE⊥AB于E,连接PB,
当QE=BE时,△PBQ是等腰三角形,
∵CP=2t,
∴DP=6-2t,
∴BE=OB-PD=4-(6-2t)=2t-2,
∵OQ=2+t,
∴QE=PD-OQ=6-2t-(2+t)=4-3t,
∴4-3t=2t-2,
解得:t=
6 |
5 |
∴当t=
6 |
5 |
练习册系列答案
相关题目