题目内容
【题目】如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x，△PBE的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．
【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；
（2）①y=﹣
x2+
x．（0＜x＜
）；②当x=
时，y最大值=
．
【解析】试题分析：（1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．
试题解析：（1）①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠DPE=90°．
∴PE⊥PD．
（2）解：①过P作PM⊥AB，
可得△AMP为等腰直角三角形，
四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，
∵AP=x，∴PM=
x，
∴BF=PM=
，PF=1﹣
．
∴S△PBE=
BE×PF=BFPF=
x（1﹣
x）=﹣
x2+
x．
即y=﹣
x2+
x．（0＜x＜
）．
②y=﹣
x2+
x=﹣
（x﹣
）2+
∵a=﹣
＜0，
∴当x=
时，y最大值=
．
