题目内容
【题目】如图，已知∠POQ＝60°，点A、B分别在射线OQ、OP上，且OA＝2，OB＝4，∠POQ的平分线交AB于C，一动点N从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP向点B作匀速运动，MN⊥OB交射线OQ于点M．设点N运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求证：△ONM∽△OAB；
（2）当MN＝CM时，求t的值；
（3）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．请求出S关于t的函数表达式．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）由题意可知：ON=t，∠POQ＝60°，∠ONM=90°，根据锐角三角函数求出OM，然后利用两组对应边成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可证出△ONM∽△OAB；
（2）分别用t表示出：MN、OM、CM、AM，然后在Rt△AMC中根据勾股定理即可求出t的值；
（3）根据点M的位置分类讨论：①当M在线段OA上时，即0＜2t≤2，解得0＜t≤1时，由图可知：△MNC与△OAB重叠部分的面积是△MNC的面积，利用S=S△NMC=S△AOB－S△BNC－S△ONM－S△ACM，即可求出此时S与t的函数关系式；②当M在OA的延长线上时，即2＜2t，此时1＜t＜2时，
设MN与AC交于点F，过点N作NE⊥AB，由图可知：△MNC与△OAB重叠部分的面积为△NCF的面积，最后计算△NCF的面积，即可求出此时S与t的函数关系式.
解：（1）由题意可知：ON=t，∠POQ＝60°，∠ONM=90°
∴OM=
∴
∴
∵∠NOM=∠AOB
∴△ONM∽△OAB；
（2）在Rt△OMN中
MN=ON·tan∠NOM=
，OM=2t
∴CM=MN=，AM=OA－OM=2－2t
∵OC平分∠POQ
∴∠COA=
∠POQ=30°
在Rt△OAC中，AC=OA·tan∠COA=
在Rt△AMC中，AC2+AM2=CM2
即
解得：
（不符合条件，故舍去）
故；
（3）①当M在线段OA上时，即0＜2t≤2，解得0＜t≤1时，由图可知：△MNC与△OAB重叠部分的面积是△MNC的面积
过点C作CE⊥OB于E，
∵△ONM∽△OAB
∴∠OAB=∠ONM=90°
∴AB=OB·sin∠AOB=
∵OC平分∠POQ
∴CE=CA=，
∴BN=OB－ON=4－t
此时S=S△NMC=S△AOB－S△BNC－S△ONM－S△ACM
=AO·BA－BN·CE－ON·MN－AM·AC
=×2×－×（4－t）×－×t×－×（2－2t）×
=
即S=（0＜t≤1）；
②当M在OA的延长线上时，即2＜2t，此时1＜t＜2时，
设MN与AC交于点F，过点N作NE⊥AB，由图可知：△MNC与△OAB重叠部分的面积为△NCF的面积，
∵∠POQ=60°
∴∠OBA=∠OMN=90°－∠POQ=30°
∵BN=OB－ON=4－t，AM=OM－OA=2t－2
∴NE=BN·sin∠OBA=
，AF=AM·tan∠OMN=
∴FC=AC－AF=－=
∴S=S△NCF=FC·NE=
即S=（1＜t＜2）.
综上所述：S=
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