题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=
对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若
，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．
【答案】（1）y=x2﹣5x+5，（2）G（3，﹣1），G（
，
）．（3）﹣1+
．
【解析】
（1）根据二次函数的图象与系数的关系列出方程组解出a，b，c的值即得二次函数的解析式；
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，可得出B点的坐标即可列出方程组求出一次函数解析式，再根据S△BCD=S△BCG列出等式即可求得G；
（3）根据题意列出等式求出x的值，则B（k+4，k2+3k+1），再根据以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，得出O′P⊥x轴，P（
，0），根据△AMP∽△PNB，得出AMBN=PNPM，代入数值即可求出k的值.
解：（1）由题意可得
，
解得a=1，b=﹣5，c=5；
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣5x+5，
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，
则
，
∵MQ=
，
∴NQ=2，B（
，
）；
∴
，
解得
，
∴
，D（0，
），
同理可求，
，
∵S△BCD=S△BCG，
∴①DG∥BC（G在BC下方），
，
∴
=x2﹣5x+5，
解得，
，x2=3，
∵x＞
，
∴x=3，
∴G（3，﹣1）．
②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，
∴
=
，
=x2﹣5x+5，
解得
，
，
∵x＞
，
∴x=
，
∴G（，
），
综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（
，）．
（3）由题意可知：k+m=1，
∴m=1﹣k，
∴yl=kx+1﹣k，
∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5，
解得，x1=1，x2=k+4，
∴B（k+4，k2+3k+1），
设AB中点为O′，
∵P点有且只有一个，
∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，
∴O′P⊥x轴，
∴P为MN的中点，
∴P（
，0），
∵△AMP∽△PNB，
∴
，
∴AMBN=PNPM，
∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣）（
），
∵k＞0，
∴k=
=﹣1+
．
