题目内容
【题目】已知点A在函数y1＝－
(x＞0)的图象上，点B在直线y2＝kx＋1＋k(k为常数，且k≥0)上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．则这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )
A. 有1对或2对 B. 只有1对
C. 只有2对 D. 有2对或3对
【答案】A
【解析】设点A与点B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”，则点A与点B关于原点对称.
设点A的坐标为(x0, y0)，则点B的坐标应为(-x0, -y0).
由于点A在函数
(x>0)的图象上，所以将点A的坐标代入函数y1的解析式，得
，
故点B的坐标可以表示为
.
由于点B在直线y2=kx+1+k (k为常数，且k≥0)上，所以将点B的坐标代入y2=kx+1+k，得
，①
因为点A在函数(x>0)的图象上，所以x0>0，
方程①两侧同时乘以x0并整理，得
，②
因为k≥0，所以应该按以下两种情况分别对方程②进行求解.
(1) 当k=0时，方程②应为：
，
解之，得 
.
故当k=0时，“友好点”为：点A (1, -1)与点B (-1, 1).
(2) 当k>0时，方程②为关于x0的一元二次方程，利用因式分解法解该一元二次方程，得
，
∴
或
，
∴
或
故当k>0时，“友好点”为：点A (
, -k)与点B (-, k)，或点A (1, -1)与点B (-1, 1).
综上所述，
当k=0时，两个图象有1对“友好点”，“友好点”是：点A (1, -1)与点B (-1, 1)；
当k>0且k≠1时，两个图象有2对“友好点”，它们分别是：点A (, -k)与点B (-, k)，点A (1, -1)与点B (-1, 1)；
当k=1时，两个图象实际上只有1对“友好点”，“友好点”是：点A (1, -1)与点B (-1, 1).
因此，这两个图象上的“友好点”应有1对或者2对.
故本题应选A.
