题目内容
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°,求证:AM=2MB;
(2)求证:∠MPB=90°-∠FCM.
(1) 连结MD,
E是DC的中点,且ME⊥DC
EM是CD的垂直平分线
MD=MC
△AMD和△FMC中
AM=FM
MD=MC
AD=FC
△AMD
△FMC (SSS)
MAD=
MFC=125
又AD∥BC 且∠ABC=90
BAD=90
MAB=35
MB=
AM
即MB=MF
MF=2MB
(2) MD=MC
且ME⊥DC
ME平分
DMC
FMC=
DMC
又 AD∥MC
DMC=
ADM
又△AMD
△FMC
ADM=
FCM
DMC=
FCM
FMC=
FCM
Rt△BPM中
MPB=90-
FMC
=90-FCM
【解析】(1)连接MD,由于点E是DC的中点,ME⊥DC,所以MD=MC,然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC,根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°,接着得到∠MAB=30°,再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM;
(2)利用(1)的结论得到∠ADM=∠FCM,又AD∥BC,所以∠ADM=∠CMD,由此得到∠CMD=∠FCM,再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM,再根据已知条件即可解决问题.
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