题目内容

如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.

 

 (1)若∠MFC=120°,求证:AM=2MB;

 (2)求证:∠MPB=90°-∠FCM.  

 

【答案】

(1) 连结MD,

  E是DC的中点,且ME⊥DC

   EM是CD的垂直平分线

   MD=MC

   △AMD和△FMC中

       AM=FM

       MD=MC

       AD=FC

   △AMD△FMC  (SSS)

   MAD=MFC=125

   又AD∥BC  且∠ABC=90

       BAD=90

       MAB=35

       MB=AM

      即MB=MF

      MF=2MB

 (2)  MD=MC 且ME⊥DC       

         ME平分DMC

        FMC=DMC

        又 AD∥MC

           DMC=ADM

        又△AMD△FMC

          ADM=FCM

          DMC=FCM

          FMC=FCM

          Rt△BPM中

          MPB=90-FMC

          =90-FCM

【解析】(1)连接MD,由于点E是DC的中点,ME⊥DC,所以MD=MC,然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC,根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°,接着得到∠MAB=30°,再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM;

(2)利用(1)的结论得到∠ADM=∠FCM,又AD∥BC,所以∠ADM=∠CMD,由此得到∠CMD=∠FCM,再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM,再根据已知条件即可解决问题.

 

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