题目内容
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:
①△ADF∽△AED;②FG=2;③tan∠E=;④S△DEF=.
其中正确的是 (写出所有正确结论的序号).
①△ADF∽△AED;②FG=2;③tan∠E=;④S△DEF=.
其中正确的是 (写出所有正确结论的序号).
①②④.
试题分析:①由AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,根据垂径定理可得:=,DG=CG,继而证得△ADF∽△AED;
②由=,CF=2,可求得DF的长,继而求得CG=DG=4,则可求得FG=2;
③由勾股定理可求得AG的长,即可求得tan∠ADF的值,继而求得tan∠E=;
④首先求得△ADF的面积,由相似三角形面积的比等于相似比,即可求得△ADE的面积,继而求得S△DEF=.
①∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,
∴=,DG=CG,
∴∠ADF=∠AED,
∵∠FAD=∠DAE(公共角),
∴△ADF∽△AED;
故①正确;
②∵=,CF=2,
∴FD=6,
∴CD=DF+CF=8,
∴CG=DG=4,
∴FG=CG﹣CF=2;
故②正确;
③∵AF=3,FG=2,
∴AG==,
∴在Rt△AGD中,tan∠ADG==,
∴tan∠E=;
故③错误;
④∵DF=DG+FG=6,AD==,
∴S△ADF=DF•AG=×6×=,
∵△ADF∽△AED,
∴,
∴=,
∴S△AED=,
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=;
故④正确.
故答案为:①②④.
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