题目内容
【题目】如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E.
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系并说明理由;
(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?说明理由;
(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给出证明。
【答案】(1)OD+OE=OC,证明详见解析;(2)(1)中结论仍然成立,理由详见解析;(3)(1)中结论不成立,结论为OE﹣OD=
OC,证明详见解析.
【解析】
(1)先判断出∠OCE=60°,再利用特殊角的三角函数得出OD=OC, 同理:OE=
OC ,进而得出结论;(2)同(1)的方法得出OF+OG=
OC,再判断出△CFD≌△CGE,得出DF=EG,最后根据等量代换求解;(3)同(2)的方法得出结论即可.
解:(1)∵OM是∠AOB的角平分线,∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°,
∵CD⊥OA,∴∠ODC=90°,∴∠OCD=60°,∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°,
在Rt△OCD中,OD=OCcos30°=OC,
同理:OE=OC,∴OD+OE=
OC;
(2)(1)中结论仍然成立,理由:
过点C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G,
∴∠OFC=∠OGC=90°,∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°,
同(1)的方法得,OF=OC,OG=
OC,
∴OF+OG=OC,∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平分线OM上一点,∴CF=CG,
∵∠DCE=120°,∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG,∴△CFD≌△CGE,∴DF=EG,
∴OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE﹣EG, ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE,
∴OD+OE=OC;
(3)(1)中结论不成立,结论为:OE﹣OD=OC,
理由:过点C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G,∴∠OFC=∠OGC=90°,
∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°,
同(1)的方法得,OF=OC,OG=
OC,∴OF+OG=
OC,
∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平分线OM上一点,
∴CF=CG,∵∠DCE=120°,∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG,∴△CFD≌△CGE,∴DF=EG,
∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD,OG=OE﹣EG,∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD,
∴OE﹣OD=OC.

【题目】在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为 20 元/千克,售价不低于 20 元/千克,且不超过 32 元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量 y(千克)与该天的售价 x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量 y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售价 x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天这种水果的售价为 23.5 元/千克,求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利 150 元,那么该天水果的售价为多少元?