题目内容

【题目】如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E.

(1)当∠DCE绕点C旋转到CDOA垂直时(如图1),请猜想OE+ODOC的数量关系并说明理由;

(2)当∠DCE绕点C旋转到CDOA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?说明理由;

(3)当∠DCE绕点C旋转到CDOA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD、OEOC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给出证明

【答案】(1)OD+OE=OC,证明详见解析;(2)(1)中结论仍然成立,理由详见解析;(3)(1)中结论不成立,结论为OE﹣OD=OC,证明详见解析.

【解析】

(1)先判断出∠OCE=60°,再利用特殊角的三角函数得出OD=OC, 同理:OE=OC ,进而得出结论;(2)(1)的方法得出OF+OG=OC,再判断出△CFD≌△CGE,得出DF=EG,最后根据等量代换求解;(3)(2)的方法得出结论即可.

解:(1)∵OM∠AOB的角平分线,∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°,

∵CD⊥OA,∴∠ODC=90°,∴∠OCD=60°,∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°,

Rt△OCD中,OD=OCcos30°=OC,

同理:OE=OC,∴OD+OE=OC;

(2)(1)中结论仍然成立,理由:

过点CCF⊥OAF,CG⊥OBG,

∴∠OFC=∠OGC=90°,∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°,

同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC,

∴OF+OG=OC,∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C∠AOB的平分线OM上一点,∴CF=CG,

∵∠DCE=120°,∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG,∴△CFD≌△CGE,∴DF=EG,

∴OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE﹣EG, ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE,

∴OD+OE=OC;

(3)(1)中结论不成立,结论为:OE﹣OD=OC,

理由:过点CCF⊥OAF,CG⊥OBG,∴∠OFC=∠OGC=90°,

∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°,

同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC,∴OF+OG=OC,

∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C∠AOB的平分线OM上一点,

∴CF=CG,∵∠DCE=120°,∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG,∴△CFD≌△CGE,∴DF=EG,

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD,OG=OE﹣EG,∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD,

∴OE﹣OD=OC.

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