题目内容

(2013•金平区模拟)如图1,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=2
5
,点C、点D分别在OA、OB上,OC=OD=2.如图2,Rt△OAB绕点O顺时针旋转角θ(0°<θ<90°),得到△OMN.连接DN,若ND⊥OD,ON与CD交于点E.
(1)求tanθ的值;
(2)求DE的长;
(3)延长DC交MN于点F,连接OF,请你确定线段OF与线段MN的关系,并说明理由.
分析:(1)根据勾股定理求出DN的值,根据tanθ=tan∠DON=
DN
OD
代入求出即可;      
(2)证△OCE∽△NDE,得出
CE
DE
=
OC
DN
,求出CE=
1
2
DE
,在Rt△ODC中,由勾股定理求出DC,即可得出答案;
(3)OF=
1
2
MN
,OF⊥MN.理由是:证△NFE∽△ODE,得出
FN
OD
=
EN
ED
,证△OCE∽△NDE,得出
OE
NE
=
OC
DN
=
2
4
,求出FN,根据勾股定理求出MN,即可得出F为等腰直角三角形OMN斜边MN的中点,即可得出答案.
解答:解:(1)在Rt△ODN中,OD=2,ON=OB=2
5

∴DN=
ON2-OD2
=
20-4
=4

∴tanθ=tan∠DON=
DN
OD
=
4
2
=2;        
                      
(2)∵∠AOD=90°,
∴OC⊥OD,
∵ND⊥OD,
∴OC∥DN,
∴△OCE∽△NDE,
CE
DE
=
OC
DN

∵OC=2,DN=4,
CE=
1
2
DE

在Rt△ODC中,DC=
OC2+OD2
=
22+22
=2
2

DE=
2
3
DC=
4
3
2

                                               
(3)OF=
1
2
MN
,OF⊥MN.理由是:
∵∠FNE=∠ODE=45°,∠FEN=∠OED,
∴△NFE∽△ODE,
FN
OD
=
EN
ED

由(2)得△OCE∽△NDE,
OE
NE
=
OC
DN
=
2
4

OE=
1
2
NE

NE=
2
3
ON=
4
3
5

FN=
EN
ED
×OD=
4
3
5
4
3
2
×2=
10

∵在Rt△OMN中,MN=
OM2+ON2
=
(2
5
)
2
+(2
5
)
2
=2
10

FN=
1
2
MN

∴F为等腰直角三角形OMN斜边MN的中点,
∴OF=
1
2
MN
,OF⊥MN.
点评:本题考查了等腰直角三角形性质,勾股定理,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力.
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