题目内容
【题目】两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：
（1）如图，△DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动），连接 DC、CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2）如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．
（3）如图，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出 sinα的值．
【答案】（1）过点C作CG⊥AB于G
在Rt△ACG中 ∵∠A＝60°
∴sin60°＝
∴
……………1分
在Rt△ABC中 ∠ACB＝90°∠ABC＝30°
∴AB=2 …………………………………………2分
∴
………3分
（2）菱形………………………………………4分
∵D是AB的中点 ∴AD=DB=CF=1
在Rt△ABC中，CD是斜边中线 ∴CD=1……5分
同理 BF=1 ∴CD=DB=BF=CF
∴四边形CDBF是菱形…………………………6分
（3）在Rt△ABE中
∴
……………………………7分
过点D作DH⊥AE 垂足为H
则△ADH∽△AEB ∴
即
∴ DH=
……8分
在Rt△DHE中
sinα=
=…=
…………………9分
【解析】
（1）根据平移的性质得到AD=BE，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC的面积．根据60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的长，从而求得其面积；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；
（3）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．
