题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是(4,0)，并且0A=OC=4OB,动点P在过A,B，C三点的抛物线上.
(1) 求抛物线的解析式;
(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标;
(3) 是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标; 若不存在，说明理由
【答案】(1) y=-x2+3x+4;(2)P（
，2）或（
，2）;(3)存在，P的坐标是（2，6）或（-2，-6），理由见解析
【解析】试题分析：
（1）由已知条件易得点ABC三点的坐标，设抛物线的解析式为
，将三点坐标代入所设解析式列出方程组，解方程组即可；
（2）如图1，连接OD，易证四边形OFDE是矩形，由此可得EF=OD，所以当OD最短时，EF最短，即当OD⊥AC时，EF最短，结合OA=OC可知此时点D是AC中点，从而可得点D的纵坐标，结合DF∥OC可得点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得点P的横坐标，从而可得点P的坐标；
（3）如图2，根据题意分别过点A、C作AC的垂线与抛物线相交于点P，再分别过所得点P向y轴作垂线交y轴于一点，结合已知条件即可求出对应的点P的坐标了.
试题解析：
（1）∵点A的坐标为：（4，0），
∴OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
则
，解得：
，
∴抛物线的解析式是：y=-x2+3x+4；
（2）如图1，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，
则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
∵OA=OC，点OD⊥AC，
∴D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF=
OC=2，
∴点P的纵坐标是2．则-x2+3x+4=2，解得：x=
，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（
，2）．
（3）存在，如图2，
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，
设P（m，-m2+3m+4），则m=-m2+3m+4-4，解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴-m2+3m+4=6，
即P（2，6）；
第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP2N=45°，AO=OF．
∴P2N=NF，
设P2（n，-n2+3n+4），则n=（-n2+3n+4）+4，解得：n1=-2，n2=4（舍去），
∴-n2+3n+4=-6，则P2的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；
【题目】广安某大型蔬菜超市从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：
蔬菜品种 | 西红柿 | 青椒 | 西兰花 | 豆角 |
批发价（元/ | 3.6 | 5.4 | 8 | 4.8 |
零售价（元/ | 5.4 | 8.4 | 14 | 7.6 |
请解答下列问题：
（1）第一天，该蔬菜超市批发青椒和豆角两种蔬菜共
，用去了
元钱，问该蔬菜超市批发青椒和豆角两种蔬菜各多少千克？
（2）在（1）的条件，这两种蔬菜当天全部售完一共能盈利多少？
（3）第二天，蔬菜超市用元钱批发青椒和西兰花，要想当天全部售完后所盈利不少于
元，则该经营户最多能批发青椒多少？（结果取整数）
