题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D,且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,
(1)如图1,求证:CF=BG;
(2)如图2,延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,
求证:PB=CP+CF;
(3)如图3,在(2)间的条件下,当∠GAC=2∠FCH时,若S△AEG=3,BG=6,求AC的长.
【答案】(1)见详解;(2)见详解;(3)3+3
【解析】
(1)根据ASA证明△BCG≌△CAF,则CF=BG;
(2)先证明△ACG≌△BCG,得∠CAG=∠CBE,再证明∠PCG=∠PGC,即可得出结论;
(3)作△AEG的高线EM,根据角的大小关系得出∠CAG=30°,根据面积求出EM的长,利用30°角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长,所以CE=3+,根据线段的和得出AC的长.
解::(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°,
∵CG平分∠ACB,
∴∠ACG=∠BCG=45°,
∴∠A=∠BCG,
在△BCG和△CAF中, ,
∴△BCG≌△CAF(ASA),
∴CF=BG;
(2)∵PC∥AG,
∴∠PCA=∠CAG,
∵AC=BC,∠ACG=∠BCG,CG=CG,
∴△ACG≌△BCG,
∴∠CAG=∠CBE,
∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°,
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°,
∴∠PCG=∠PGC,
∴PC=PG,
∵PB=BG+PG,BG=CF,
∴PB=CF+CP;
过E作EM⊥AG,交AG于M,
∵S△AEG=AGEM=3
,
由(2)得:△ACG≌△BCG,
∴BG=AG=6,
∴×6×EM=3
,
EM=,
设∠FCH=x°,则∠GAC=2x°,
∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°,
∵∠ACH=45°,
∴2x+x=45,
x=15,
∴∠ACF=∠GAC=30°,
在Rt△AEM中,AE=2EM=2,
∴M是AG的中点,
∴AE=EG=2,
∴BE=BG+EG=6+2,
在Rt△ECB中,∠EBC=30°,
∴CE=BE=3+
,
∴AC=AE+EC=2+3+
=3
+3.
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