题目内容

【题目】如图,在ABC中,∠ACB90°,ACBC,EAC边的一点,FAB边上一点,连接CF,BE于点D,且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACBBD于点G,

(1)如图1,求证:CFBG;

(2)如图2,延长CGABH,连接AG,过点CCPAGBE的延长线于点P,

求证:PBCPCF;

(3)如图3,在(2)间的条件下,当∠GAC2FCH时,SAEG3BG6,AC的长.

【答案】1)见详解;(2)见详解;(33+3

【解析】

1)根据ASA证明△BCG≌△CAF,则CF=BG
2)先证明△ACG≌△BCG,得∠CAG=CBE,再证明∠PCG=PGC,即可得出结论;
3)作△AEG的高线EM,根据角的大小关系得出∠CAG=30°,根据面积求出EM的长,利用30°角的三角函数值依次求AEEGBE的长,所以CE=3+,根据线段的和得出AC的长.

解::(1)∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠A=45°,
CG平分∠ACB
∴∠ACG=BCG=45°,
∴∠A=BCG
在△BCG和△CAF中,

∴△BCG≌△CAFASA),
CF=BG

2)∵PCAG
∴∠PCA=CAG
AC=BC,∠ACG=BCGCG=CG
∴△ACG≌△BCG
∴∠CAG=CBE
∵∠PCG=PCA+ACG=CAG+45°=CBE+45°,
PGC=GCB+CBE=CBE+45°,
∴∠PCG=PGC
PC=PG
PB=BG+PGBG=CF
PB=CF+CP

EEMAG,交AGM


SAEG=AGEM=3
由(2)得:△ACG≌△BCG
BG=AG=6
×6×EM=3
EM=
设∠FCH=x°,则∠GAC=2x°,
∴∠ACF=EBC=GAC=2x°,
∵∠ACH=45°,
2x+x=45
x=15
∴∠ACF=GAC=30°,
RtAEM中,AE=2EM=2

MAG的中点,
AE=EG=2
BE=BG+EG=6+2
RtECB中,∠EBC=30°,
CE=BE=3+
AC=AE+EC=2+3+=3+3

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