题目内容
27、（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；
（3）解决问题：
①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图；
②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；
（3）解决问题：
①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图；
②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
分析：（1）根据两角互余的关系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性质即可解答；
（2）先根据正方形的性质及AM⊥AC求出AM=AC，，∠AMF=∠ACB=45°，再由△ABF≌△ADE及三角形内角和定理可求出∠MAF=∠CAE，再由SAS定理求出△AMF≌△ACE，即CE=MF；
（3）①画出示意图，只要求出△ABE≌△ADF，再根据此条件求出四边形AECF是正方形即可；
②根据题意画出示意图即可，此时正方形的面积等于两块涂料面积的和．
（2）先根据正方形的性质及AM⊥AC求出AM=AC，，∠AMF=∠ACB=45°，再由△ABF≌△ADE及三角形内角和定理可求出∠MAF=∠CAE，再由SAS定理求出△AMF≌△ACE，即CE=MF；
（3）①画出示意图，只要求出△ABE≌△ADF，再根据此条件求出四边形AECF是正方形即可；
②根据题意画出示意图即可，此时正方形的面积等于两块涂料面积的和．
解答：解：（1）∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
∵AB=AD，∠ADE=∠ABF，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF．（5分）
（2）CE=MF．（7分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC，
∵△ABF≌△ADE，
∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED，即∠AFB=∠AEC，
∴∠MAF=∠EAC，
∴△AMF≌△ACE，
∴CE=MF．
（3）①如图所示，把△ABE切下，拼到△ADF的位置，
∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是正方形．
②如图4所示，
∴∠BAF=∠DAE，
∵AB=AD，∠ADE=∠ABF，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF．（5分）
（2）CE=MF．（7分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC，
∵△ABF≌△ADE，
∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED，即∠AFB=∠AEC，
∴∠MAF=∠EAC，
∴△AMF≌△ACE，
∴CE=MF．
（3）①如图所示，把△ABE切下，拼到△ADF的位置，
∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是正方形．
②如图4所示，
点评：此题题量较大，涉及到正方形的性质及相似三角形的判定定理．解题的关键是利用全等三角形进行割补．
练习册系列答案
相关题目
如图，是正方形的表面展形图，如果相对两个面数字之和相等，且A+B+C=14，则6A-2B+3C=
如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）| A、△NBD | B、△MBD | C、△EBD | D、△FBD |
如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB=2，则AP等于（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为 1，则∠1的正弦值是
如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，且BC：EC=4：1，F是DC的中点．