Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=

4

5

，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当tan∠BCD=

1

2

时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，及其定义域；
（3）当BF=

5

4

时，求线段AD的长．

Answer 1

分析：（1）由题意先求出AC，BC的长，由AE⊥CD和∠ACB=90°，证明出∠CAF=∠BCD，再由tan∠BCD=

1

2

，可知tan∠CAF=tan∠BCD=

1

2

，求得CF，从而求得线段BF的长；
（2）通过分析，作辅助线，过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，根据平行线的性质得：

BG

AC

=

BD

AD

，再由（1）得

BG

BC

=

CF

AC

，根据以上两个式子求出y关于x的函数解析式，
（3）分两种情况：①当点F在线段BC上时，②当点F在CB延长线上时，求得线段AD的长为

9

4

或

3

2

．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=

4

5

，
∴BC=4，AC=3，（1分）
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD（2分）
∴tan∠CAF=tan∠BCD=

1

2

，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=

3

2

，BF=

5

2

（1分）

（2）过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G，（1分）

∴

BG

AC

=

BD

AD

，即

BG

3

=

(5-x)

x

①（1分）
在Rt△ACF与Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF=tan∠BCD，

∴

BG

BC

=

CF

AC

，即

BG

4

=

(4-y)

3

，②（1分）
由①②得

4(4-y)

3

=

3(5-x)

x

，y=

25x-45

4x

=

25

4

-

45

4x

(

9

5

≤x≤5)（2分）

（3）1°当点F在线段BC上时，
把y=

5

4

代入y=

25

4

-

45

4x

解得x=

9

4

，（2分）
2°当点F在CB延长线上时，
设AD=x，由（2）同理可得

4(4+ 5 4 )

3

=

3(5-x)

x

，解得x=

3

2

（2分）
综上所述当BF=

5

4

时，线段AD的长为

9

4

或

3

2

（1分）

点评：本题主要考查了三角函数的应用，用到了分类讨论的思想，是一道综合题难度大．