Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．

（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．
②如图2，若BD= AB，过点B，D的抛物线L2 ， 其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3 ， 顶点为P，对应函数的二次项系数为a3 ， 过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求 的值，并直接写出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，

解得x1= ，x2=﹣ ，

∴AB=2 ．

∵平移得到的抛物线L1经过点B，

∴BC=AB=2 ，

∴AC=4 ．

②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，

根据抛物线的轴对称性，得BN= DB= ，

∴OM= ．

设抛物线L2的函数表达式为y=a（x﹣ ）2，

由①得，B点的坐标为（ ，2），

∴2=a（ ﹣ ）2，

解得a=4．

抛物线L2的函数表达式为y=4（x﹣ ）2

（2）

解：如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，

过点B作BK⊥x轴于点K，

设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），

根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．

设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x﹣4t），

∵该抛物线过点B（t，at2），

∴at2=a3t（t﹣4t），

∵t≠0，

∴ =﹣ ，

由题意得，点P的坐标为（2t，﹣4a3t2），

则﹣4a3t2=ax2，

解得，x1=﹣ t，x2= t，

EF= t，

∴ = ．

【解析】（1）①根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，at2），求出 的值，根据抛物线上点的坐标特征求出 的值．