Question

已知：如图所示，△ABC是等边三角形，D是AC中点，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，
①试判断△DBE是什么三角形？并证明你的结论．
②若BC=2.2，求S_△ABD（结果保留三个有效数字．提示：BD=AB，=1.732）

Answer 1

解：（1）△DBE是等腰三角形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴∠ABC=∠DCB=60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
而∠DCB=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴BD⊥AC，AB=AC=BC，
而BD=AB，
∴BD=BC=2.2×=1.1×，AD=1.1，
∴S_ABD=×BD×AD=×1.1××1.1≈8.68．
分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠DCB=60°，根据等腰三角形的三线合一由D是AC中点得到BD平分∠ABC，则∠DBC=∠ABC=30°，由CE=CD得到∠CDE=∠E，而∠DCB=∠CDE+∠E=60°，计算得∠E=30°，于是∠DBE=∠E，根据等腰三角形的判定方法即可得到△DBE是等腰三角形；
（2）根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，AB=AC=BC，再根据提示有BD=AB，则BD=BC=2.2×=1.1×，AD=1.1，然后根据三角形面积公式计算即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三边都相等，三个角都等于60°．也考查了等腰三角形的判定与性质．