Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，OC=3OA．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点B的坐标为（3，0），OB=OC，

∴点C的坐标为（0，﹣3），

又∵OC=3OA，

∴OA=1，

∴点A的坐标为（﹣1，0），

将A、B、C三点坐标代入可得： ，

解得： ，

故这个二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：在该抛物线上存在点F（2，﹣3），使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形．

理由：由（1）得D（1，﹣4），则直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3，

故E点的坐标为（﹣3，0），

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，

∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），

代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合．

∴抛物线上存在点F（2，﹣3），使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

（3）

解：①如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），

则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得R= ，

其中R= （不合题意，舍去），

∴R= ．

②如图，当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），

则N（r+1，﹣r），

代入抛物线的表达式，解得：r= ，

其中r= （不合题意，舍去），

∴r= ．

综合①②得：圆的半径为 或 ．

【解析】（1）分别确定A、B、C的坐标，利用待定系数法可得二次函数的表达式；（2）根据A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可得点F的可能坐标，再由点F在抛物线上，可最终确定；（3）分两种情况讨论，①MN在x轴上，②MN在x轴下，表示出N的坐标，代入抛物线解析式可得半斤的长度．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．