题目内容
在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A′B′C.
(1)如图1,当A′B′∥AC时,设A′C与AB相交于点D.证明:△BCD是等边三角形;
(2)如图2,连接A′A、B′B,设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求:S△ACA′与S△BCB′的比;
(3)如图3,设AC中点为E,A′B′中点为P,BC=a,连接EP,求:角θ为多少度时,EP长度最大,并求出EP的最大值.
(1)如图1,当A′B′∥AC时,设A′C与AB相交于点D.证明:△BCD是等边三角形;
(2)如图2,连接A′A、B′B,设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求:S△ACA′与S△BCB′的比;
(3)如图3,设AC中点为E,A′B′中点为P,BC=a,连接EP,求:角θ为多少度时,EP长度最大,并求出EP的最大值.
(1)证明:如图1,∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠CBA=60°(直角三角形的两个锐角互余).
∵A′B′∥AC,
∴∠ACA′=∠CA′B′,
又由旋转的性质知,∠CA′B′=∠CAB=30°,
∴∠ACA′=∠CAB=30°,即θ=30°,
∴∠A′CB=∠ACB-θ=90°-30°=60°,
∴∠CDB=60°,
∴在△CDB中,∠DCB=∠CBD=∠BDC=60°,
∴△BCD是等边三角形;
(2)证明:如图2,由旋转的性质可知AC=CA1,BC=CB1,
∴
=
,
又由旋转的性质知,∠ACA1=∠BCB1
∴△ACA1∽△BCB1,
∴S△ACA′:S△BCB′=AC2:BC2=(
)2:1=3:1;
(3)如图,连接CP,当△ABC旋转到△A′B′C的位置时,
此时θ=∠ACA′=150°,EP=EC+CP=
AC+
A′B′=
×
a+
×2a=
a.
即角θ150°时,EP长度最大,其最大值是
a.
∴∠CBA=60°(直角三角形的两个锐角互余).
∵A′B′∥AC,
∴∠ACA′=∠CA′B′,
又由旋转的性质知,∠CA′B′=∠CAB=30°,
∴∠ACA′=∠CAB=30°,即θ=30°,
∴∠A′CB=∠ACB-θ=90°-30°=60°,
∴∠CDB=60°,
∴在△CDB中,∠DCB=∠CBD=∠BDC=60°,
∴△BCD是等边三角形;
(2)证明:如图2,由旋转的性质可知AC=CA1,BC=CB1,
∴
AC |
BC |
CA1 |
CB1 |
又由旋转的性质知,∠ACA1=∠BCB1
∴△ACA1∽△BCB1,
∴S△ACA′:S△BCB′=AC2:BC2=(
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(3)如图,连接CP,当△ABC旋转到△A′B′C的位置时,
此时θ=∠ACA′=150°,EP=EC+CP=
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即角θ150°时,EP长度最大,其最大值是
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