题目内容

【题目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点。

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系并说明理由;
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论。

【答案】
(1) 解:∵∠BAC=90°,O为BC的中点,

∴BO=CO=AO=BC,


(2)解:△OMN是等腰直角三角形.理由如下:

连接OA,如图,

∵AC=AB,∠BAC=90°,
∴OA=OB=OC,OA平分∠BAC,∠B=45°,

∴∠NAO=∠B=45°,

在△NAO和△MBO 中,

AN=BM ,∠NAO=∠B ,AO=BO ,

∴△NAO≌ △MBO,
∴ON=OM,∠AON=∠BOM,

∵AC=AB,O是BC的中点,
∴AO⊥BC,

即∠BOM+∠AOM=90°,
∴∠AON+∠AOM=90°,

即∠NOM=90°,

∴△OMN是等腰直角三角形.


【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得出答案.
(2)△OMN是等腰直角三角形.理由如下:连接OA,由等腰直角三角形性质得出OA=OB=OC,AO⊥BC,OA平分∠BAC,∠NAO=∠B=45°,再由SAS得到△NAO≌ △MBO,由全等三角形的性质得出ON=OM,∠AON=∠BOM,再根据垂直的定义得出∠BOM+∠AOM=90°,由等量代换得∠NOM=90°,从而得证.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°,以及对直角三角形斜边上的中线的理解,了解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

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