题目内容
【题目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点。
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系并说明理由;
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论。
【答案】
(1) 解:∵∠BAC=90°,O为BC的中点,
∴BO=CO=AO=BC,
(2)解:△OMN是等腰直角三角形.理由如下:
连接OA,如图,
∵AC=AB,∠BAC=90°,
∴OA=OB=OC,OA平分∠BAC,∠B=45°,
∴∠NAO=∠B=45°,
在△NAO和△MBO 中,
AN=BM ,∠NAO=∠B ,AO=BO ,
∴△NAO≌ △MBO,
∴ON=OM,∠AON=∠BOM,
∵AC=AB,O是BC的中点,
∴AO⊥BC,
即∠BOM+∠AOM=90°,
∴∠AON+∠AOM=90°,
即∠NOM=90°,
∴△OMN是等腰直角三角形.
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得出答案.
(2)△OMN是等腰直角三角形.理由如下:连接OA,由等腰直角三角形性质得出OA=OB=OC,AO⊥BC,OA平分∠BAC,∠NAO=∠B=45°,再由SAS得到△NAO≌ △MBO,由全等三角形的性质得出ON=OM,∠AON=∠BOM,再根据垂直的定义得出∠BOM+∠AOM=90°,由等量代换得∠NOM=90°,从而得证.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识,掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°,以及对直角三角形斜边上的中线的理解,了解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【题目】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路匀速驶向C城.已知A、C两城的距离为360km,B、C两城的距离为320km,甲车比乙车的速度快10km/h,结果两辆车同时到达C城.设乙车的速度为xkm/h.
(1)根据题意填写下表:
行驶的路程(km) | 速度(km/h) | 所需时间(h) | |
甲车 | 360 | ||
乙车 | 320 | x |
(2)求甲、乙两车的速度.