题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,定义点P(x,y)的变换点为P′(x+y,x﹣y).
(1)如图1,
如果⊙O的半径为 ,
①请你判断M(2,0),N(﹣2,﹣1)两个点的变换点与⊙O的位置关系;
②若点P在直线y=x+2上,点P的变换点P′在⊙O的内,求点P横坐标的取值范围.
(2)如图2,如果⊙O的半径为1,且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上,求点P与⊙O上任意一点距离的最小值.
【答案】
(1)解:①M(2,0)的变换点M′的坐标为(2,2),则OM′= =2 ,所以点M(2,0)的变换点在⊙O上;
N(﹣2,﹣1)的变换点N′的坐标为(﹣3,﹣1),则ON′= = >2 ,所以点N(﹣2,﹣1)的变换点在⊙O外;
②设P点坐标为(x,x+2),则P点的变换点为P′的坐标为(2x+2,﹣2),则OP′= ,
∵点P′在⊙O的内,
∴ <2 ,
∴(2x+2)2<4,即(x+1)2<1,
∴﹣1<x+1<1,解得﹣2<x<0,
即点P横坐标的取值范围为﹣2<x<0;
(2)解:设点P′的坐标为(x,﹣2x+6),P(m,n),
根据题意得m+n=x,m﹣n=﹣2x+6,
∴3m+n=6,
即n=﹣3m+6,
∴P点坐标为(m,﹣3m+6),
∴点P在直线y=﹣3x+6上,
设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,过O点作OH⊥AB于H,交⊙O于C,如图2,
则A(2,0),B(0,6),
∴AB= =2 ,
∵ OHAB= OAOB,
∴OH= = ,
∴CH= ﹣1,
即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为 ﹣1.
【解析】(1)比较d与r的大小可以判定点与圆的位置关系;(2)利用变换法则,求出变换点P'的运动轨迹为直线,圆上的点与直线的最短距离可转化为圆心到直线的距离减去半径.
【题目】某市在艺术节中组织中小学校文艺汇演,甲、乙两所学校共92名学生其中甲校学生多于乙校学生,且甲校学生不足90名,现准备统一购买服装参加演出,下表是某服装厂给出的演出服装价格表:
购买服装的套数 | 1套至45套 | 46套至90套 | 91套及以上 |
每套服装的价格 | 60元 | 50元 | 40元 |
如果两所学校单独购买服装,一共应付5000元
(1)甲、乙两校各有多少名学生准备参加汇演?
(2)如果甲、乙两校联合起来购买服装,那么比各自购买服装共可以节省多少钱?
(3)如果甲校有10名学生被调去参加书法绘画比赛不能参加演出,请你为两校设计购买服装方案,并说明哪一种最省钱.
【题目】某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练,出球口在桌面中线端点A处的正上方,如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变,且落在中线上,在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中,设乒乓球与端点A的水平距离为x(米),距桌面的高度为y(米),运行时间为t(秒),经多次测试后,得到如下部分数据:
t(秒) | 0 | 0.16 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.64 | 0.8 | … |
x(米) | 0 | 0.4 | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.6 | 2 | … |
y(米) | 0.25 | 0.378 | 0.4 | 0.45 | 0.4 | 0.378 | 0.25 | … |
(1)如果y是t的函数,
①如图,在平面直角坐标系tOy中,描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点.请你根据描出的点,画出该函数的图象;
②当t为何值时,乒乓球达到最大高度?
(2)如果y是关于x的二次函数,那么乒乓球第一次落在桌面时,与端点A的水平距离是多少?