Question

25、在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G．
（1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE=

20°．

°；
（2）当∠BAC为一任意角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G可知∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由三角形内角和定理及∠BAC=100°列出关系式，求出∠DAE的值即可；
（2）由于△ABC形状不能确定，故应分∠BAC≥90°、∠BAC＜90°两种情况进行分类讨论．

解答：解：（1）∵AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE①，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAE+∠DAE=180°②，∠BAD+∠CAE+∠DAE=100°③，
①②③联立得∠DAE=20°；（2分）

（2）∠DAE=2|90°-∠BAC|（4分）
或∠DAE=2∠BAC．（5分）
即当∠BAC≥90°时，∠DAE=2（∠BAC-90°）；
当∠BAC＜90°且∠B及∠C均为锐角时，
∠DAE=2（90°-∠BAC）；
当∠BAC＜90°且∠B、∠C两者之一为钝角时，
∠DAE=2∠BAC．
证明：（I）①当∠BAC＞90°时，如图1，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠B+∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
∵DF垂直平分AB，
∴DB=DA，
∴∠B=∠1．同理得∠C=∠3，代入式，得：2∠B+∠2+2∠C=180°，
∠2=180°-2（∠B+∠C）=180°-2（180°-∠BAC）=2（∠BAC-90°），（7分）
即∠DAE=2（∠BAC-90°）；

②当∠BAC=90°时，如图2，此时，点D、E重合，即
∠DAE=0°，而∠BAC-90°=0°，
∴∠DAE=2（∠BAC-90°）（8分）
（II）当∠BAC＜90°且∠B及∠C均为锐角时，①点D、E均在线段BC上，
如图3，∵∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠B+∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
∵DF垂直平分AB，∴DB=DA，
∴∠B=∠1+∠2，∴∠1=∠B-∠2，
同理得∠3=∠C-∠2，代入上式，得∠B+（∠B-∠2）+∠2+（∠C-∠2）+∠C=180°，
整理得∠2=2（∠B+∠C-90°）=2（180°-∠BAC-90°）=2（∠BAC-90°），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；（10分）
②当点D在线段BC上，点E在线段CB的延长线上（如图4）时，
∵EG垂直平分AC，
∴EC=EA，∠C=∠EAC，即∠C=∠1+∠2+∠3，
两边都加∠2，得∠C+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2，而DA=DB，
∴∠2=∠ABC，上式即为∠ABC+∠C=∠DAE+∠BAC，
∴∠DAE=∠ABC+∠C-∠BAC=180°-∠BAC-∠BAC=2（90°-∠BAC），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；
③当点E在线段BC上，点D在线段BC的延长线上（如图5）时，
∵DF垂直平分AB，
∴DB=DA，∠B=∠BAD，即∠B=∠1+∠2+∠3，
两边都加∠2，得∠B+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2，而EA=EC，
∴∠2=∠ACE，上式即为∠B+∠ACB=∠BAC+∠DAE，
∴∠DAE=∠B+∠ACB-∠BAC=180°-∠BAC-∠BAC=2（90°-∠BAC），
即∠DAE=2（90°-∠BAC）；
④当点D、E分别在线段BC的延长线和反向延长线上（如图6）时，∠2+∠ABC+∠ACB=180°，等式两边都加上∠1+∠2+∠3，得
（∠1+∠2+∠3）+∠2+∠ABC+∠ACB=180°+（∠1+∠2+∠3），由∠1+∠2=∠ACB，∠2+∠3=∠ABC，∠1+∠2+∠3=∠DAE，得2（∠ABC+∠ACB）=180°+∠DAE，
整理得∠DAE=2（90°-∠BAC）；
⑤当点D与点C重合（如图7）时，∠DAE=∠1+∠2，两边都加上∠2，得∠DAE+∠2=∠1+∠2+∠2，由∠2=∠BAC=∠ABC，∠1+∠2=∠BCA，得∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠ABC，∠DAE+∠BAC=180°-∠BAC，得∠DAE=2（90°-∠BAC）；
⑥当点E与点B重合（如图8）时，∠DAE=∠1+∠2，两边都加上∠1，得∠DAE+∠1=∠1+∠2+∠1，由∠1=∠BAC=∠ACB，∠1+∠2=∠ABC，得∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠ABC，∠DAE+∠BAC=180°-∠BAC，得∠DAE=2（90°-∠BAC）；

⑦当点D与C重合，点E与B重合时，如图9，由已知条件得BA=BC，CA=CB，从而△ABC为等边三角形，∠DAE=∠A=60°=2（90°-60°）=2（90°-∠A），即∠DAE=2（90°-∠BAC）；（12分）
（III）当∠BAC＜90°且∠B或∠C之一为钝角时，①设∠ACB为钝角，如图10，
∵EG垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠ACE=∠3，
又∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+∠1+∠2，即∠3=∠B+∠1+∠2，两边都加上∠2，
∠3+∠2=∠B+∠1+∠2+∠2，
∵∠3+∠2=∠DAE，∠1+∠2=∠BAC，∠1=∠B，代入得：∠DAE=∠1+∠1+∠2+∠2=2（∠1+∠2）=2∠BAC，即∠DAE=2∠BAC；②当点D与点C重合（∠ACB为钝角）时，如图11，
∵EA=EC，
∴∠2=∠ACE，
∵∠ACE=∠1+∠B=2∠1，即∠DAE=2∠BAC；
③当∠ABC为钝角时，如图12，
∵∠1=∠ABD，而∠ABD=∠2+∠3+∠C，
∴∠1=∠2+∠3+∠C，两边都加∠2，得
∠1+∠2=∠2+∠3+∠C+∠2，∠DAE=∠BAC+∠BAC=2∠BAC；
④当点E与点B重合（∠ABC为钝角）时，如图13，
∵DA=DB，∴∠1=∠ABD，∵∠ABD=∠2+∠C=2∠2，即∠DAE=2∠BAC；（14分）
综上所述，得∠DAE=2（∠BAC-90°）或∠DAE=2（90°-∠BAC）或∠DAE=2∠BAC，即∠DAE=2|90°-∠BAC|或∠DAE=2∠BAC．

点评：本题考查的是线段垂直平分线及三角形外角的性质，在解答此题时由于△ABC的形状不能确定，故应进行分类讨论．