Question

17、在△ABC中，AB边的垂直平分线交BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交BC于点E，垂足为点G．
（1）当∠BAC=100°时，求∠DAE=

20

°；
（2）当∠BAC为钝角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系：

∠DAE=2（∠BAC-90°）

．

Answer 1

分析：（1）由DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质，分别得到AD与BD相等，AE与CE相等，然后再利用等边对等角分别得到∠BAD与∠B相等，∠EAC与∠C相等，由∠BAC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，利用∠BAC减去∠BAD与∠EAC的和，等量代换即可求出值；
（2）根据第一问的思路，同理可表示出∠DAE与∠BAC的关系．

解答：解：（1）∵DF垂直平分AB，
∴AD=AB，
∴∠BAD=∠B，
又EG垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
由∠BAC=100°，得到∠B+∠C=80°，
∴∠BAD+∠CAE=80°，
则∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=100°-80°=20°；
（2））∵DF垂直平分AB，
∴AD=AB，
∴∠BAD=∠B，
又EG垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-∠BAC，
则∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）
=∠BAC-（∠B+∠C）
=∠BAC-（180°-∠BAC）
=2（∠BAC-90°）．
故答案为：20°；∠DAE=2（∠BAC-90°）

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，属于探究型题，此题的一般解法是充分抓住已知条件或图形的特征，找准问题的突破口，由浅入深，多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现新结论．让学生经历了由特殊到一般的推理过程，培养了学生的发散思维能力．